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Series matemáticas

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Las series matemáticas son parte importante del conocimiento humano. pero si no lo conoces te estarás preguntando

¿Qué es una serie?

Una serie es el resultado obtenido al aplicar la suma de los términos de una sucesión de números:

donde la sucesión:

$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$

se convierte en:

$S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n$

Tipos de series

Las series se clasifican en dos grandes grupos dependiendo del límite de la sumatoria. Series convergentes y series divergentes.

Series convergentes

Una serie es convergente cuando el límite de $S_n$ es finito, o sea, $a_n$ tiende a cero cuando n es suficientemente grande. Un ejemplo claro de convergencia son las series geométricas que crecen con razón constante:

$S = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^n}$

Series divergentes

Por su parte, una serie es divergente cuando el límite de $S_n$ tiende a infinito, ello significa que $a_n$ es infinito cuando n es suficientemente grande. La sumatoria de los números enteros positivos es un caso de serie divergente:

$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n$

En este momento conoces que son las series y sus clasificaciones. Pero obtener el valor de una serie realizando las n operaciones se convierte en un reto; sobre todo cuando n es muy grande. Por tanto, surge la necesidad de encontrar formas de calcular dichos valores con un número considerablemente menor de operaciones.

Progresión aritmética

Unos de los métodos más conocidos es la progresión aritmética. Es aplicada específicamente a las series divergentes, donde la distancia d entre los números consecutivos de una serie es constante. Esta propiedad permite calcular la suma de cualquier serie generada que cumpla dicha característica.

La sumatoria de la sería se calcula utilizando la fórmula general para progresiones aritméticas:

$n\frac{min + max}{2}$

donde n representa la cantidad de elementos de la serie, además min y max son los valores mínimos y máximos de la serie respectivamente.

Como puedes observar claramente, el método consiste en obtener el valor medio de la serie mediante

$\frac{min + max}{2}$

y sumarlo n veces para obtener la sumatoria media de la serie. Puesto que la serie crece en un valor constante, la sumatoria media es igual a $S_n$.

Ejemplos

A continuación les presento algunas series divergentes a las q se le puede aplicar el método mencionado.

Sumatoria de los primeros n números enteros positivos:

$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n$

$S = \frac{n(1+n)}{2}$

Sumatoria para los primeros n números pares:

$S = 2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3 + ... + 2n$

$=\frac{n(2+2n)}{2}$

$=\frac{2n(n+1)}{2}$

$=n(n+1)$

Sumatoria para los primeros n números impares:

$S = 2 * 1-1 + 2 * 2-1 + 2 * 3-1 + ... + 2 * n-1$

$=\frac{n( 1 + 2n-1 )}{2}$

$=\frac{2n^2}{2}$

$=n^2$

Sumatoria de los primeros n múltiplos de x:

Es posible calcular la sumatoria de los n primeros números múltiplos de x. Donde x puede ser cualquier número real.

$S = x * 1 + x * 2 + ... + x*n$

$=\frac{n( x + xn )}{2}$

$=\frac{nx( 1 + n )}{2}$

Sumatoria de una serie cualquiera

Debido a la generalidad de la fórmula es posible aplicarla a cualquier serie de números reales que cumpla con el requisito de crecer de manera constante. Por ejemplo para la serie:

$S = 2 + 7 + 12 + 17 + 22 + 27 + 32$

se deduce que $d = 5$, $n = 7$, $min = 2$ y $max = 32$

$=\frac{7 * ( 2 + 32 )}{2}$

$=7 * 17$

$=119$

Sumatoria con números negativos

Serie con $d = 3$ y $n = 6$, donde el $min = -8$ y el $max = 7$

$S = -8 + -5 + -2 + 1 + 4 + 7$

$=\frac{5 * ( -8 + 7 )}{2}$

$=\frac{-6}{2}$

$=-3$

Sumatoria de números reales

En este caso se pretende calcular una serie que tiene como $d = 0.5$ y $n = 5$, además el $min = 0.5$ y el $max = 2.5$

$S = 0.5 + 1.0 + 1.5 + 2.0 + 2.5$

$=\frac{5 * ( 0.5 + 2.5 )}{2}$

$=\frac{5 * 3}{2}$

$=7.5$

Conclusiones

El mundo de las series matemáticas es muy fascinante y complejo. Pero espero que si no conocías de ello o conocías poco, este artículo haya aportado un granito de arena. Cualquier duda déjenme su comentario y muchas gracias por visitarnos.

Drink code everywhere!

Opiniones
noavatar
Exelente artículo, muchos en el día a día desarollando, tenemos problemas que se pudern resolver de forma elegante con el método aquí explicado, pero por desconocimiento siguen iterando.